Question

已知△ABC中，AB=3，∠BAC=120°，AC=1，D为AB延长线上一点，BD=1，点E在∠BAC的平分线上，且△ADE是等边三角形，则点C到BE的距离为________．

Answer 1

分析：首先利用等边三角形的性质得出对应边、角之间的关系，进而得出△DBE≌△ACE，进而得出△CBE是等边三角形，再利用勾股定理以及锐角三角函数关系得出BE以及CN的长．
解答：解：连接CE，过点C作CN⊥BE于点N，过点B作BF⊥DE于点F，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠D=∠DAE=∠DEA=60°，AE=DE=AB，
∵∠BAC=120°，
∴∠EAC=60°，
在△DBE和△ACE中
，
∴△DBE≌△ACE（SAS），
∴∠AEC=∠DEB，EC=BE，
∵∠DEA=60°，
∴∠BEC=60°，
∴△CBE是等边三角形，
∵BD=1，∠D=60°，
∴BF=1×sin60°=，DF=BD=，
∴EF=4-=，
∴BE==，
∴CE=，
∴CN=CE×sin60°=×=．
故答案为：．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理、锐角三角函数的概念，根据已知得出等边△CBE的边长是解题关键．