Question

如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：
（1）DE=DF；　
（2）AE=AF．

Answer 1

证明：（1）如图，连接AD．
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∴DE=DF；

（2）∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∴在Rt△AED与Rt△AFD中，，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF．
分析：（1）D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF；
（2）由全等三角形的判定定理HL证得Rt△AED≌Rt△AFD，则该全等三角形的对应边相等：AE=AF．
点评：本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；利用等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．