Question

如图，已知边长为a的正方形ABCD．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作该正方形绕点A逆旋转30°后的正方形AB₁C₁D₁；
（2）求两正方形不重合部分的面积．

Answer 1

解：（1）

（2）连接AG，
∵AD=AB₁，AG=AG，
∴直角三角形AB₁G≌△ADG，
∵∠BAB₁=30°，
∴∠B₁AD=60°，
∴∠B₁AG=30°，
∵AB₁=a，
∴B₁G=，
∴四边形AB₁GD=2×a×÷2=．
∴两正方形不重合部分的面积=2×（a²-）=．
分析：（1）①以点A为圆心，AD长为半径作圆，再以点D为圆心，DA长为半径作弧，与圆的交点为E，连接AE，DE，△ADE就是一个等边三角形．∠EAD=60°；
②作∠EAD的角平分线，得到一个30°的角，角平分线与圆的交点为D₁；
③连接AC，以AC为一边根据②中30度的角作∠CAC1=30°，以点A为圆心，AC长为半径画弧与角的另一边交点为C₁；
④以AB为一边，作∠BAB₁等于已知角30度，与圆的交点为B₁．
顺次连接AB₁C₁D₁，正方形AB₁C₁D₁就是所求的正方形．
（2）从图中可以发现两正方形不重合部分的面积，就是正方形的面积减四边形AB₁GD的面积．连接AG，求它的面积．根据面积公式计算．
点评：（1）题的难点在于作一个30°的角，作出30°的角后，旋转变换根据这个角度找对应点就可以了．
（2）题的关键是根据勾股定理计算重合部分的面积，然后得出不重合部分的面积．