Question

【题目】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE//AC，且DE:AC=1：2，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．

（1）求证：OE=CD；

（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AE=．

【解析】

（1）先证得OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直得到∠COD=90°，证得OCED是矩形，即可证明OE=CD；

（2）由菱形的性质和勾股定理求出AC与CE的长，最后根据勾股定理解答即可．.

解：（1）∵在菱形ABCD中，

∴OC=AC，AC⊥BD.

又∵DE:AC=1：2

∴DE=AC

∴DE=OC

∵DE//AC，

∴四边形OCED是平行四边形.

∵∠COD=90°

∴平行四边形OCED是矩形.

∴OE=CD

（2）∵在姜形ABCD中，

∴AB=BC=CD=AD=2，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=2，AO=1.

∵在矩形OCED中，CE=OD=

又∵矩形DOCE中，∠OCE=90°

∴在Rt△ACE中，AE=．