Question

在数学活动中，小明为了求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

…+

1

2a

的值（结果用n表示），设计如图甲所示的几何图形．

（1）请你利用这个几何图形求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

…+

1

2a

的值为

1-

1

2a

．
（2）请你利用图乙，再设计一个能求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

…+

1

2a

的值的几何图形．

Answer 1

分析：（1）根据图形分析，用“面积法”解题；即面积为

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

…+

1

2a

，可看作用正方形的面积减去第n个矩形的面积，为1-

1

2a

．
（2）仿照（1）依次将四边形的面积平分即可．

解答：解：（1）由图形可得：
s₁=

1

2

=1-

1

2

；
s₂=

1

2

+

1

22

=

3

4

=1-

1

22

；
s₃=

1

2

+

1

22

+

1

23

=

7

8

=1-

1

23

；
…
∴

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

…+

1

2a

=1-

1

2a

；

（2）如图：

点评：本题考查了图形的变化问题，重点考查学生归纳推理总结规律的能力．