题目内容
已知：△ABC是任意三角形．
（1）如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点，求证：∠MPN=∠A．
（2）如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且
| AM |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| AN |
| AC |
| 1 |
| 3 |
（3）如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且
| AM |
| AB |
| 1 |
| 2010 |
| AN |
| AC |
| 1 |
| 2010 |
（请直接将该小问的答案写在横线上）
分析：（1）由三角形的中位线定理可得到四边形AMPN是平行四边形，故有∠MPN=∠A；
（2）由平行线分线段成比例，可得到四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形，有∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，故∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A．
（3）类似地，可得到∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2009N=∠A．
（2）由平行线分线段成比例，可得到四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形，有∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，故∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A．
（3）类似地，可得到∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2009N=∠A．
解答：
（1）证明：∵点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点，
∴线段MP、PN是△ABC的中位线，
∴MP∥AN，PN∥AM，（1分）
∴四边形AMPN是平行四边形，（2分）
∴∠MPN=∠A．（3分）
（2）解：∠MP1N+∠MP2N=∠A正确．（4分）
如图所示，连接MN，（5分）
∵
=
=
，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠B，
=
，
∴MN∥BC，MN=
BC，（6分）
∵点P1、P2是边BC的三等分点，
∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，MN与P2C平行且相等，
∴四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形，
∴MB∥NP1，MP1∥NP2，MP2∥AC，
（7分）
∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，
∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A．
（3）解：∠A．
理由：连接MN，
∵
=
=
，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠B，
=
，
∴MN∥BC，MN=
BC，
∵P1、P2、…、P2009是边BC的2010等分点，
∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，…，MN与P2009C平行且相等，
∴四边形MBP1N、MP1P2N、…、MP2009CN都是平行四边形，
∴MB∥NP1，MP1∥NP2，…，MP2009∥AC，
∴∠MP1N=∠BMP1，∠MP2N=∠P1MP2，…，∠BMP2009=∠A，
∴∠MP1N+∠MP2N=∠BMP1+∠P1MP2+…+∠P2008MP2009=∠BMP2009=∠A．
（1）证明：∵点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点，∴线段MP、PN是△ABC的中位线，
∴MP∥AN，PN∥AM，（1分）
∴四边形AMPN是平行四边形，（2分）
∴∠MPN=∠A．（3分）
（2）解：∠MP1N+∠MP2N=∠A正确．（4分）
如图所示，连接MN，（5分）
∵
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
| 1 |
| 3 |
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠B，
| MN |
| BC |
| 1 |
| 3 |
∴MN∥BC，MN=
| 1 |
| 3 |
∵点P1、P2是边BC的三等分点，
∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，MN与P2C平行且相等，
∴四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形，
∴MB∥NP1，MP1∥NP2，MP2∥AC，
（7分）
∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，
∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A．
（3）解：∠A．
理由：连接MN，
∵
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
| 1 |
| 2010 |
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠B，
| MN |
| BC |
| 1 |
| 2010 |
∴MN∥BC，MN=
| 1 |
| 2010 |
∵P1、P2、…、P2009是边BC的2010等分点，
∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，…，MN与P2009C平行且相等，
∴四边形MBP1N、MP1P2N、…、MP2009CN都是平行四边形，
∴MB∥NP1，MP1∥NP2，…，MP2009∥AC，
∴∠MP1N=∠BMP1，∠MP2N=∠P1MP2，…，∠BMP2009=∠A，
∴∠MP1N+∠MP2N=∠BMP1+∠P1MP2+…+∠P2008MP2009=∠BMP2009=∠A．
点评：本题利用了三角形中位线定理及平行线分线段成比例的性质求解，从三角形的二等分点到n等分点，从特殊到一般，培养学生的探究能力．
练习册系列答案
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，
，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？请说明你的理由．
，
，点P1、P2、……、P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N+∠MP2N+……+∠MP2009N=____________．
，
，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？请说明你的理由．
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