Question

根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图2．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ．则以下结论：
①x＜0时，y=

2

x

．
②△OPQ的面积为定值．
③x＞0时，y随x的增大而增大．
④MQ=2PM．
⑤∠POQ可以等于90°．                              
其中正确结论有

②④⑤

．（把你认为正确的结论序号全部填上）

Answer 1

分析：根据题意得到当x＜0时，y=-

2

x

，当x＞0时，y=

4

x

，设P（a，b），Q（c，d），求出ab=-2，cd=4，求出△OPQ的面积是3；x＞0时，y随x的增大而减小；由ab=-2，cd=4得到MQ=2PM；因为∠POQ=90°也行，根据结论即可判断答案．

解答：解：①、x＜0，y=-

2

x

，∴故此选项①错误；
②、当x＜0时，y=-

2

x

，当x＞0时，y=

4

x

，
设P（a，b），Q（c，d），
则ab=-2，cd=4，
∴△OPQ的面积是

1

2

（-a）b+

1

2

cd=3，∴故此选项②正确；
③、x＞0时，y=

4

x

=4•

1

x

，y随x的增大而减小，故此选项③错误；
④、∵ab=-2，cd=4，∴故此选项④正确；
⑤设PM=-a，则OM=-

2

a

．则P0²=PM²+OM²=（-a）²+（-

2

a

）²=（-a）²+

4

a2

，
QO²=MQ²+OM²=（-2a）²+（-

2

a

）²=4a²+

4

a2

，
当PQ²=PO²+QO²=（-a）²+

4

a2

+4a²+

4

a2

=5a²+

8

a2

=9a²
整理得：

8

a2

=4a²
∴a⁴=2，
∵a有解，∴∠POQ=90°可能存在，故此选项⑤正确；
正确的有②④⑤，
故答案为：②④⑤．

点评：本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行说理是解此题的关键．