Question

7．如图，已知抛物线l₁的顶点是P（-2，4），且经过点O（0，0）、A（t，0），平行于y轴的直线m与x轴交于点B（b，0），与抛物线l₁交于点M．
（1）求t的值及抛物线l₁的解析式；
（2）当BM=4时，求b的值；
（3）把抛物线l₁绕点（0，1）旋转180°，得到抛物线l₂．
①直接写出当两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小时，x的取值范围．
②直线m与抛物线l₂交于点N，设线段MN的长为n，求n与b的关系式，并求出线段MN的最小值及此时b的值．

Answer 1

分析 （1）先利用抛物线的顶点坐标求出t的值，进而用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先确定出BM=4，再分两种情况，利用点M的纵坐标建立方程求解即可；
（3）先表示出点M，N的坐标，进而确定出n与b的函数关系式，即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线l₁的顶点是P（-2，4），
∴对称轴为x=-2，
∴A（-4，0），
∴t=-4，
设抛物线l₁的解析式为y=a（x+2）²+4，
∵抛物线过点O，
∴4a+4=0，
∴a=-1，
∴抛物线l₁的解析式为y=-（x+2）²+4，

（2）∵点M在抛物线l₁上，
∴点B在x轴上，且BM=4，
①当点M在x轴下方时，M（b，-4），
∴-4=（b+2）²+4，
∴b=2±2$\sqrt{2}$，
②当点M在x轴上方时，M（b，4），
∴4=-（b+2）²，
∴b=-2，
∴当BM=4时，b=-2或-2+2$\sqrt{2}$或-2-2$\sqrt{2}$；

（3）①
，
由图象知，-2＜x＜2，

②∵点P关于（0，1）的对称点为P'（2，-2），
∴抛物线l₂的解析式为y=（x-2）²-2，
设点M（b，-（b+2）²+4），∴N（b，（b-2）²-2），
∴MN=n=（b-2）²-2-[-（b+2）²+4]=2b²+2，
∴当b=0时，MN的最小值为2．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称的性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题，是一道基础题目．