Question

如图，抛物线y=ax²-3与x轴交于点A（-3，0）和点B，与y轴交于点C，过点A作AP∥CB交抛物线于点P，在抛物线位于第一象限部分上取一点M，作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似，则M点的坐标为

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：先将点A（-3，0）代入y=ax²-3，求出a的值，得到抛物线的解析式，根据解析式求出B，C两点的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，再利用平移的性质求出直线AP的解析式，与抛物线的解析式联立，求出P点坐标，根据勾股定理的逆定理判断△PCA为直角三角形．再假设存在与△PCA相似的三角形，分△AMG∽△PCA，△MAG∽△PCA两种情况进行讨论，根据相似三角形对应边成比例列式即可求解．

解答：解：∵抛物线y=ax²-3与x轴交于点A（-3，0），
∴9a-3=0，
∴a=

1

3

，
∴y=

1

3

x²-3．
当y=0时，

1

3

x²-3=0，解得x=±3，
当x=0时，y=-3，
∴B（3，0），C（0，-3）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则

3k+b=0 b=-3

，解得

k=1 b=-3

，
∴直线BC的解析式为y=x-3．
设直线AP的解析式为y=x+n，
将A（-3，0）代入，得-3+n=0，
解得n=3，
∴直线AP的解析式为y=x+3．
由

y=x+3 y= 1 3 x2-3

，解得

x1=6 y1=9

，

x2=-3 y2=0

，
∴P点坐标为（6，9）．
∵A（-3，0），C（0，-3），P（6，9），
∴AC²=（0+3）²+（-3-0）²=18，AP²=（6+3）²+（9-0）²=162，PC²=（6-0）²+（9+3）²=180，
∴AC²+AP²=PC²，
∴△PCA是直角三角形，且∠PAC=90°．
在抛物线位于第一象限部分上取一点M，作MG⊥x轴于点G，假设以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似，设M点的横坐标为m，则M （m，

1

3

m²-3），m＞3．分两种情况：
（ⅰ） 当△AMG∽△PCA时，有

AG

PA

=

MG

CA

，
∵AG=m+3，MG=

1

3

m²-3，
∴

m+3

9 2

=

1 3 m2-3

3 2

，
解得m₁=-3（舍去） m₂=4，
∴M（4，

7

3

）；
（ⅱ） 当△MAG∽△PCA时，有

AG

CA

=

MG

PA

，
即

m+3

3 2

=

1 3 m2-3

9 2

，
解得：m₁=-3（舍去），m₂=12，
∴M（12，45）．
综上所述，存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似，此时M点的坐标为（4，

7

3

）或（12，45）．
故答案为（4，

7

3

）或（12，45）．

点评：此题是二次函数的综合题，涉及到利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，函数图象平移的规律，两函数交点坐标的求法，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质等重要知识；要注意根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解．