Question

【题目】如图，在中，直径垂直于弦，垂足为，连结，将沿翻转得到，直线与直线相交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若为的中点，，求的半径长；

（3）①求证：；

②若的面积为，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）的半径为2；（3）①见解析；②．

【解析】

（1）连接OC，由OA=OC得，根据折叠的性质得∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°，则∠2=∠3，于是可判断OC∥AF，根据平行线的性质得，然后根据切线的性质得直线FC与⊙O相切；
（2）首先证明△OBC是等边三角形，在Rt△OCE中，根据OC2=OE2+CE2，构建方程即可解决问题；
（3）①根据等角的余角相等证明即可；
②利用圆的面积公式求出OB，由△GCB∽△GAC，可得，由此构建方程即可解决问题；

解：（1）证明：连结，则，

，

，

，

又，

即直线垂直于半径，且过的外端点，

是的切线；

（2）点是斜边的中点，

，

是等边三角形，且是的高，

在中，

，即

解得，即的半径为2；

（3）①∵OC=OB，

∴，

，，

．

②，

，

由①知：，

，即，

，

解得：．