Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝6，在AC上取一点D，使AD＝4，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，点D的对应点是点P，连接BP，取BP的中点F，连接CF，当点P旋转至CA的延长线上时，CF的长是_____，在旋转过程中，CF的最大长度是_____.

Answer 1

【答案】， +2．

【解析】

当点P旋转至CA的延长线上时，CP＝10，BC＝2，利用勾股定理求出BP，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CF的长；取AB的中点M，连接MF和CM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CM的长，利用三角形中位线定理，可得FM的长，再根据当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，即可得到结论．

当点P旋转至CA的延长线上时，如图1．

∵在直角△BCP中，∠BCP＝90°，CP＝AC+AP＝6+4＝10，BC＝2，

∴BP＝，

∵BP的中点是F，

∴CF＝BP＝ ．

取AB的中点M，连接MF和CM，如图2．

∵在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝2，

∴AB＝2．

∵M为AB中点，

∴CM＝AB＝，

∵将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，点D的对应点是点P，

∴AP＝AD＝4，

∵M为AB中点，F为BP中点，

∴FM＝AP＝2．

当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，

此时CF＝CM+FM＝+2．

故答案为：， +2．