Question

3．如图，一次函数y=-x+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于A（1，m），B（3，n）两点．
（1）求一次函数及反比例函数的解析式；
（2）点P为双曲线上A，B之间的一点，求当△ABP的面积最大时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A、B坐标代入一次函数、反比例函数解析式列出方程组即可解决．
（2）根据对称性点P就是直线y=x与y=$\frac{3}{x}$的交点．

解答 解：（1）由题意$\left\{\begin{array}{l}{-1+b=m}\\{-3+b=n}\\{m=3n}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{m=3}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴点A（1，3），k=3，
∴一次函数为y=-X+4，反比例函数为y=$\frac{3}{x}$．
（2）∵直线y=-x+4与反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象都是关于直线y=x对称的，
∴当点P是直线y=x与y=$\frac{3}{x}$的交点时，△PAB面积最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∵点P在第一象限，
∴点P坐标为（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用待定系数法，把问题转化为方程解决，根据对称性，第二个问题求点P坐标转化为求直线y=x与y=$\frac{3}{x}$的交点，属于中考常考题型．