Question

如图，直线l表示草原上一条河的河堤，在河堤的一侧有两个村庄A、B，它们到河堤l的距离分别为AC=30km，BD=40km，两个村庄A、B之间的距离为50km．有一牧民骑马从A村出发到B村，途中要到河边给马饮一次水．
（1）在图中标出使牧民行驶距离最短的饮水点P；
（2）若他在上午8点出发，以每小时30km的平均速度前进，则他能否在上午10点30分之前到达B村．

Answer 1

分析：（1）要求牧民行驶距离最短的饮水点P，除非AP、BP的和为两定点之间的距离，也即是P在两定点A、B′的连线上．
（2）先根据勾股定理求出AB′的长，再求出所需时间，进行比较得出结论．

解答：解：（1）作点B关于直线l的对称点B’，连接AB’交直线l于点P．（5分）

（2）作AE⊥BD于点E，
则DE=AC=30km，BE=40-30=10km，AE²=50²-10²=2400，B’E=70km，
∴BP+PA=AB’=

702+2400

=10

73

，（7分）
又30×2.5=75＜10

73

，（9分）
故牧民不能在10点30分之前到达B村．（10分）

点评：（1）最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”，可以利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
（2）时间=路程÷速度．本题求出AB′的长是解题的关键．