Question

Rt△ABC中，∠C=90°，O在边AB上，⊙O经过点A，分别交边AC、AB于D、E，AD：AO=8：5，BC=2，设AO=x，DC=y，则y关于x的函数关系式为

y=

8

3

-

8

5

x

，定义域为

0＜x≤

5

3

．

Answer 1

分析：连DE，根据圆周角定理的推论得到∠ADE=90°，而AD：AO=8：5，则AD：AE=8：10，设AE=10t，则AD=8t，利用勾股定理得DE=6t，因为DE∥BC，根据相似三角形的判定得到△ADE∽△ACB，则
DE：BC=AD：AC，即6t：2=8t：（8t+y），得到y=

8

3

-8t，由AO=x，易得t=

1

5

t，于是有y=

8

3

-

8

5

x，然后利用y≥0，可得到x的取值范围．

解答：解：如图，连DE，
∵DE为直径，
∴∠ADE=90°，
∵AD：AO=8：5，
∴AD：AE=8：10，
设AE=10t，则AD=8t，
∴DE=

(10t)2-(8t)2

=6t，
∵∠C=90°，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴DE：BC=AD：AC，即6t：2=8t：（8t+y），
∴y=

8

3

-8t，
∵AO=x，
∴2x=10t，解得t=

1

5

t，
∴y=

8

3

-

8

5

x，
而y≥0，则

8

3

-

8

5

x≥0，
∴0＜x≤

5

3

．
故答案为y=

8

3

-

8

5

x；0＜x≤

5

3

．

点评：本题考查了圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为90°，90°的圆周角所对的弦为直径．也考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理．