Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点．

（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：

①求二次函数的表达式；

②当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；

（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x2﹣8x+12；②线段MQ的最大值为9．（2）m+n的值为定值．m+n＝6．

【解析】

（1）①根据点B的坐标和二次函数图象的对称轴即可求出二次函数解析式；

②设M（m，m2﹣8m+12），利用待定系数法求出直线BC的解析式，从而求出Q（m，﹣2m+12），即可求出MQ的长与m的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可；

（2）将B（6，0）代入二次函数解析式中，求出二次函数解析式即可求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据一次函数的性质设出直线MN的解析式，然后联立方程结合一元二次方程根与系数的关系即可得出结论．

（1）①由题意，

解得，

∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x+12．

②如图1中，设M（m，m2﹣8m+12），

∵B（6，0），C（0，12），

∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+12，

∵MQ⊥x轴，

∴Q（m，﹣2m+12），

∴QM＝﹣2m+12﹣（m2﹣8m+12）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，

∵﹣1＜0，

∴m＝3时，QM有最大值，最大值为9．

（2）结论：m+n的值为定值．

理由：如图2中，

将B（6，0）代入二次函数解析式中，得

解得：

∴二次函数解析式为

∴C（0，﹣36﹣6b），

设直线BC的解析式为y＝kx﹣36﹣6b，

把（6，0）代入得到：k＝6+b，

∴直线BC的解析式为y＝（6+b）x﹣36﹣6b，

∵MN∥CB，

∴可以假设直线MN的解析式为y＝（6+b）x+b′，

由，消去y得到：x2﹣6x﹣36﹣6b﹣b′＝0，

∴x1+x2＝6，

∵点M、N的横坐标为m、n，

∴m+n＝6．

∴m+n为定值，m+n＝6．