Question

【题目】如图，以为顶点的抛物线交轴于两点，交轴于点，直线的表达式为．

（1）求抛物线的表达式；

（2）求的面积；

（3）在直线上有一点，若使的值最小，则点的坐标为____________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）．

【解析】

（1）通过的表达式为求解出B、C点的坐标，利用待定系数法得到方程组，进而求出抛物线方程所含的未知数，得到抛物线的表达式；

（2）通过做垂线DF，交BC于E，求的面积可转化成求和的面积之和，即可求解；

（3）作点O关于BC的对称点，利用对称点的性质，可以把的最小值转化成的最小值进而求得直线的解析式，联立直线BC的解析式得到方程组，通过解方程组求出的坐标.

解：（1）把代入，得：，

．

把代入，得：，

．

把代入，

得：，

解得，

抛物线的解析式为；

（2）如下图，过点作于点，交于点

，

顶点．

当时，，

，即．

由（1）知：，即，

．

（3）如下图，作点O关于BC的对称点，由，则

∵O与关于BC对称，∴，

∴的最小值=的最小值==（两点之间线段最短），

由A（-1,0）、，求得直线的解析式是，

联立直线的表达式，

P点坐标满足，

解得，

所以．