题目内容
设n为正整数，m=12n．已知m的约数个数是n的约数个数的2倍，则符合这种情形的最小的n是（ ）位数．
分析：假设n=2a1×3a2×（k3）a3×…（kp）ap，则n的约数个数为（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+ap），根据m=12n，则m约数个数为（3+a1）（2+a2）（1+a3）…（1+ap），在由m的约数个数是n的约数个数的2倍，即可求出风和这种情形的最小的n值．
解答：解：假设n=2a1×3a2×（k3）a3×…（kp）ap，
则n的约数个数为（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+ap），
m=n×22×3，则m约数个数为（3+a1）（2+a2）（1+a3）…（1+ap），
所以（3+a1）（2+a2）=2（1+a1）（1+a2），
化简得a2（a1-1）=4，
则a2=1或2或4，则n最小值为2a1×3a2，代进去，求得最小值为23×32=72，
故选B．
则n的约数个数为（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+ap），
m=n×22×3，则m约数个数为（3+a1）（2+a2）（1+a3）…（1+ap），
所以（3+a1）（2+a2）=2（1+a1）（1+a2），
化简得a2（a1-1）=4，
则a2=1或2或4，则n最小值为2a1×3a2，代进去，求得最小值为23×32=72，
故选B．
点评：本题考查整数问题的综合运用，解题关键是设出n=2a1×3a2×（k3）a3×…（kp）ap，难度较大．
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