Question

如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．

（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；

（2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．

Answer 1

考点：

切线的判定；勾股定理；垂径定理．

专题：

计算题．

分析：

（1）根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB，AE=AB=4，再根据勾股定理计算出OE=3，则EC=2，然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan∠BAC的值；

（2）根据垂径定理得到AC弧=BC弧，再利用圆周角定理可得到∠AOC=2∠BAC，由于∠DAC=∠BAC，所以∠AOC=∠BAD，利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°，然后根据切线的判定方法得AD为⊙O的切线．

解答：

解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，

∴AE=BE=AB=4，

在Rt△OAE中，OA=5，AE=4，

∴OE==3，

∴EC=OC﹣OE=5﹣3=2，

在Rt△AEC中，AE=4，EC=2，

∴tan∠BAC===；

（2）AD与⊙O相切．理由如下：

∵半径OC垂直于弦AB，

∵AC弧=BC弧，

∴∠AOC=2∠BAC，

∵∠DAC=∠BAC，

∴∠AOC=∠BAD，

∵∠AOC+∠OAE=90°，

∴∠BAD+∠OAE=90°，

∴OA⊥AD，

∴AD为⊙O的切线．

点评：

本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理．