Question

如图，抛物线y=-x²+x-2与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C。
（1）求证：△AOC∽△COB；
（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动，同时点Q在线段CD上也以每秒1个单位的速度由D向C运动，则经过几秒后，PQ=AC。

Answer 1

解：（1）在抛物线y=上， 令y=0时，即=0，得x1=1，x2=4， 令x=0时，y=-2， ∴A（1，0），B（4，0），C（0，-2）， ∴OA=1，OB=4，OC=2， ∴， ∴， 又∵∠AOC=∠BOC， ∴△AOC∽△COB； （2）设经过t秒后，PQ=AC， 由题意得：AP=DQ= t，  ∵A（1，0）、B（4，0）， ∴AB=3， ∴BP=3-t， ∵CD∥x轴，点C（0，-2）， ∴点D的纵坐标为-2， ∵点D在抛物线y=上， ∴D（5，-2）， ∴CD=5， ∴CQ=5-t， ①当AP=CQ，即四边形APQC是平行四边形时， PQ=AC， t=5-t t=2.5， ② 连结BD，当DQ=BP，即四边形PBDQ是平行四边形时， PQ=BD=AC， t=3-t t=1.5， 所以，经过2.5秒或 1.5秒时，PQ=AC。