Question

已知，直线y=-

3

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x+1与x轴，y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90度．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）求三角形ABC的面积S_△ABC；
（2）证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；
（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）根据直线的解析式容易求出A，B的坐标，也可以求出OA，OB，AB的长，由于三角形ABC是等腰直角三角形，知道AB就可以求出S_△ABC；
（2）不论a取任何实数，△BOP都可以以BO=1为底，点P到y轴的距离1为高，所以三角形BOP的面积是一个常数；
（3）△ABC的面积已知，把△ABP的面积用a表示，就可以得到关于a的方程，解方程可以求出a．

解答：解：（1）令y=-

3

3

x+1中x=0，得点B坐标为（0，1）；
令y=0，得点A坐标为（

3

，0），
由勾股定理得|AB|=2，
∴S_△ABC=2；

（2）不论a取任何实数，△BOP都可以以BO=1为底，点P到y轴的距离1为高，
∴S_△BOP=

1

2

为常数；

（3）当点P在第四象限时，a＜0，
∵S_△ABO=

3

2

，S_△APO=-

3

2

a，
∴S_△ABP=S_△ABO+S_△APO-S_△BOP=S_△ABC=2，
即

3

2

-

3

2

a-

1

2

=2，
解得a=

3-5 3

3

，
当点P在第一象限时，同理可得a=1+

3

，
综上所述，a的值为

3-5 3

3

或1+

3

．

点评：此题主要考查一次函数图象的性质来探讨变化三角形的面积，也结合了方程的知识，解方程就可以求出a．