题目内容
10．如图所示，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，CD（或它们的延长线）于点E，F．当∠EAF绕点A旋转到BE=DF时（如图（1）所示），易证BE+DF=EF．（1）当∠EAF绕点A旋转到BE≠DF时（如图（2）所示），线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以说明．
（2）当∠EAF绕点A旋转到如图（3）所示的位置时，线段BE，DF和EF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
分析 （1）延长CD到M，使DM=BE，得到∠MAF=90°-∠FAE=90°-45°=45°，根据全等三角形的性质得到MF=EF，等量代换得到结论；
（2）如图（3）在线段DF上截取DN=BE，根据全等三角形的性质得到∠DAN=∠BAE，AN=AE，推出△AEF≌△ANF（SAS），根据全等三角形的性质即可得到结论．
解答 解：（1）BE+DF=EF成立．
证明：如图（2），延长CD到M，使DM=BE，
∴∠MAF=90°-∠FAE=90°-45°=45°，
又∵∠FAE=45°，
∴在△AEF与△AMF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AM}\\{∠EAF=∠MAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AMF（SAS），
∴MF=EF，
∵MF=DF+DM=BE+DF，
∴BE+DF=EF；
（2）DF-BE=EF．
如图（3）在线段DF上截取DN=BE，
在△ADN与△ABE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADN=∠ABE}\\{DN=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△ABE（SAS），
∴∠DAN=∠BAE，AN=AE，
∴∠NAF=∠EAF．
在△AEF和△ANF中，$\left\{\begin{array}{l}{AN=AE}\\{∠NAD=∠EAB}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△ANF（SAS），
∴EF=NF，
∴DF-BE=EF．
点评 本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．
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