Question

如图，⊙O是等腰梯形ABCD的内切圆，切点分别为E，F，G，H，其中AB∥CD，连接OB交⊙O于点P，连接OC，OG，OE，FG，FP，下列结论：①EG为⊙O的直径；②∠OGF=∠OCF；③若∠A=60°，则四边形OPFG是菱形；④直线EG是以BC为直径的外接圆的切线．其中正确的有（　　）

• A、①②③④
• B、①②③
• C、①②④
• D、①③④

Answer 1

分析：连接OF，根据切线的性质，切线长定理逐一判断．

解答：解：①∵CD、AB为⊙O的切线，∴OG⊥CD，OE⊥AB，又CD∥AB，∴O、E、G三点共线，即EG为直径，正确；
②连接OF，根据切线长定理可知，CG=CF，∴∠OCF=∠OCG，
又OF=OG，∴OC垂直平分FG，
∴∠OCG+∠CGF=90°，又∠OGF+∠CGF=90°，故∠OGF=∠OCF，正确；
∴③∠A=60时，根据等腰梯形的性质可知∠EBF=60°，根据切线长定理可知BO平分∠EBF，即∠OBF=30°，
又OF⊥BF，∴∠BOF=60°，故△OPF为等边三角形，又∠EOB=∠FOB=60°，可得△OFG为等边三角形，
∴四边形OPFG为菱形，正确；
④如图，过O点作OM∥AB交BC于点M，则OM为梯形BCGE的中位线，
∴BM=CM=

1

2

BC，OM=

1

2

（BE+CG）=

1

2

（BF+CF）=

1

2

BC，即BM=CM=OM，
又∵BE⊥EG，∴OM⊥EG，∴直线EG是以BC为直径的外接圆的切线，正确．
①②③④都正确，故选A．

点评：本题考查了切线的性质，切线长定理，切线的判定定理，等腰梯形的性质及梯形中位线定理．具有一定的综合性，解题时，要根据要根据每个结论的要求，合理地选择所需要的性质或判断．