题目内容

如图，?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE垂直平分BC，分别交BD、BC于点F、E，已知sin∠BAE= $数学公式$ ．
（1）求 $数学公式$ 的值；
（2）若AB=10，求AO和AF的值．

解：（1）∵AE垂直平分BC，
∴AB=AC，∠AEB=90°，BE=CE，
在Rt△ABE中，sin∠BAE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
设BE=3x，则AB=5x，CE=3x，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=3x+3x=6x，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（2）∵AB=10，
∴5x=10，解得x=2，
∴AC=10，BE=6，AD=12，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO= $\text{[math]}$ AC=5，
在Rt△ABE中，AE= $\text{[math]}$ =8，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2，
∴EF= $\text{[math]}$ AF，
∴ $\text{[math]}$ AF+AF=AE=8，
∴AF= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由AE垂直平分BC得到AB=AC，∠AEB=90°，BE=CE，根据正弦的定义得sin∠BAE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，设BE=3x，则AB=5x，CE=3x，然后根据平行四边形的性质得AD=6x，再计算 $\text{[math]}$ ；
（2）由AB=10，则5x=10，解得x=2，所以AC=10，BE=6，AD=12，根据平行四边形的性质得AO= $\text{[math]}$ AC=5，利用勾股定理计算出BE=8，由AD∥BC得到△ADF∽△EBF，利用相似可得到EF= $\text{[math]}$ AF，然后利用EF+AF=AE=8计算即可求出AF．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线被其他两边所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边的比相等，对应角相等．也考查了平行四边形的性质．