题目内容
【题目】如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．
【答案】（1）60°；（2）不变化，∠APB=2∠ADB ，理由详见解析；（3）∠ABC=30°
【解析】
（1）根据平行线的性质与角平分线的性质即可求解；（2）根据平行线的性质与角平分线的性质即可求得∠APB=2∠ADB（3）根据三角形的内角和即可求解.
解：（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
∵∠A=60°
∴∠ABN=120°
∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=
∠ABP, ∠DBP=∠NBP,
∴∠CBD=∠CBP +∠DBP=∠ABN=60°
（2）不变化，∠APB=2∠ADB，理由：
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN
∠ADB=∠DBN
又∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN =2∠DBN
∴∠APB=2∠ADB
（3）在△ABC中，∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°，
∵∠ACB=∠ABD,∴∠ABC=∠ADB
∵AD∥BN，∠A=60°，
∴∠ABN=120°，∠ADB=∠DBN=∠ABC，
由（1）知∠CBD=60°，
∴∠ABC=(∠ABN-∠CBD)=30°
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