Question

如图，正方形ABCD的对角线交于点O．AE平分∠BAC交AB于点E，交BC于点F，求证：CF=2OE．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：作OH∥BC，交AF于点H，根据三角形中位线定理证明OH=

1

2

CF，然后根据三角形的外角的性质证明∠OHE=∠AEO，则OE=OH，据此即可证得．

解答：证明：作OH∥BC，交AF于点H．
∵OH∥BC，且正方形ABCD中，AO=OC，
∴AH=HF，即OH是△ACF的中位线．
∴OH=

1

2

CF．
∵HO∥BC，
∴∠AOH=∠ACB=45°，
∴∠OHE=∠AOH+∠FAC=45°+∠FAC，
又∵∠AEO=∠ABD+∠BAE=45°+∠BAE，
∠FAC=∠BAE，
∴∠OHE=∠AEO，
∴OE=OH，
∴CF=2OE．

点评：本题考查了三角形的外角的性质以及三角形的中位线定理，正确通过三角形的中位线定理把题目转化为证明线段相等的问题是关键．