Question

【题目】如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接，.

（1）求证：；

（2）当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；

（3）若为中点，则当________时，四边形是正方形

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）四边形是菱形.理由见解析（3）当时，四边形是正方形.

【解析】

（1）先证出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）先证明出四边形BECD是平行四边形，再求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．

（1）证明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC∥DE，

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四边形ADEC是平行四边形，

∴CE=AD；

（2）解：四边形BECD是菱形，

理由是：∵D为AB中点，

∴AD=BD，

∵CE=AD，

∴BD=CE，

∵BD∥CE，

∴四边形BECD是平行四边形，

∵∠ACB=90°，D为AB中点，

∴CD=BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

∴四边形BECD是菱形；

（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：

∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，

∴AC=BC，

∵D为BA中点，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

∵四边形BECD是菱形，

∴菱形BECD是正方形，

即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．