Question

已知，如图所示，P是⊙O直径AB延长线上一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于H，CF交AB于点E，

(1)求证：∠AOD＝∠DCF；

(2)PA·PB＝PO·PE；

若DE⊥CF，∠P＝15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长；

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵AB是⊙O的直径，暇DF⊥AB于D点H， 　　∴弧AD＝弧AF＝DF弧 　　∴∠1＝∠2 　　即：∠AOD＝∠DCF 　　(2)∵∠1＝∠2， 　　∴∠POD＝∠PCE 　　∵∠DPO＝∠EPC 　　∴⊿DPO∽∠EPC 　　∴，即： 　　∵ 　　∴ 　　(3)由(1)知： 　　AB是弦DF的垂直平分线 　　∴DE＝EF， 　　∴∠3＝∠4 　　∵DE⊥CF 　　∴∠3＝∠4＝ 　　∴∠4＝∠5＝ 　　∵∠P＝ 　　∴∠1＝ 　　在Rt⊿DHO中， 　　∵∠1＝，OD＝2， 　　∴OH＝1，DH＝， 　　∵DHE是等腰直角三角形 　　∴DE＝， 　　又∵∠1＝∠2，∠DHO＝∠DEC＝ 　　∴∠DEO∽∠DEC 　　∴ 　　∴ 　　∴EC＝； 　　∴CF＝CE＋EF＝CE＋DE＝；