Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点、在轴上，点在轴上，，，为线段上一动点，以为边在轴上方作正方形，连接．

（1）若点的坐标为，则________；

（2）当________时，轴；

（3）当点由点运动到点过程中，点经过的路径长为________；

（4）当面积最大时，求出的长及面积最大值．

Answer 1

【答案】（1）－；（2）；（3）5；（4）的长为时，的面积最大，最大值为．

【解析】

（1）由勾股定理可得64-(5-m)2=25-(-m)2，可求m的值；
（2）由勾股定理可求CO的长，由“AAS”可证△AED≌△ODC，可得AD=CO，即可求解；

（3）由“AAS”可证△CFH≌△CDO，可得CH=CO=，FH=DO，可得点F在FH上移动，由特殊位置可求解；

（4）过点E作EN⊥x轴于点N，由三角形的面积公式可得△ADE面积=×AD×EN=(5-BD)(+BD)=-(BD-)2+，由二次函数的性质可求解．

解：（1）∵点B的坐标为（m，0），
∴BO=-m，
∵CO2=AC2-AO2，CO2=CB2-BO2，
∴64-（5-m）2=25-（-m）2，
∴m=-，
故答案为：-；

（2）∵点B的坐标为（-，0），
∴BO=，

，

∵EA⊥x轴，
∴∠EAD=90°，
∴∠EDA+∠AED=90°，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=DE，∠EDC=90°，
∴∠EDA+∠CDO=90°，
∴∠AED=∠CDO，
∵∠EAD=∠COD，ED=CD，
∴△AED≌△ODC（AAS）
∴AE=DO，AD=CO=，
∴BD=AB-AD=5-=，
∴当BD=时，EA⊥x轴；
故答案为：；

（3）如图，过点C作CH⊥y轴，过点F作FH⊥CH，交点为H，

∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=CF，∠FCD=90°，
∴∠FCH+∠DCH=90°，
又∵∠DCO+∠HCD=90°，
∴∠FCH=∠DCO，
又∵FC=DC，∠CHF=∠DOC=90°，
∴△CFH≌△CDO（AAS）
∴CH=CO=，FH=DO，
∴点F在FH上移动，
当点D与点B重合时，FH=BO=，
当点D与点A重合时，FH=AO=AB+BO=5+=，
∴当点D由点B运动到点A过程中，点F经过的路径长为-=5，
故答案为：5；

（4）设的长为，的面积为，则

如图，过点E作EN⊥x轴于点N，

由（2）可得△DEN≌△CDO，
∴EN=DO，
∵△ADE面积=×AD×EN=(5-BD)(+BD)

∴

整理得：

配方得：

即的长为时，的面积最大，最大值为．