Question

在平面直角坐标系中，抛物线经过两点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为，将直线沿轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于点，求直线的解析式；

（3）在（2）的条件下，求到直线距离相等的点的坐标．

 

Answer 1

解：（1）根据题意得

        解得

所以抛物线的解析式为：

（）由得抛物线的顶点坐标为B（，1），

     依题意，可得C（，-1），且直线   过原点，  设直线  的解析式为，

    则      解得

所以直线  的解析式为

（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个，如图，

由勾股定理得 OB=OC=BC=2，

       所以△OBC为等边三角形。

易证轴所在的直线平分∠BOC，轴是△OBC的一个外角的平分线，

作∠BCO的平分线，交轴于M₁点，交轴于M₂点，

作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线，交轴于M₃点，

反向延长线交轴于M₄点，

     可得点M₁，M₂，M₃，M₄ 就是到直线OB、OC、BC距离相等的点。

       可证△OBM₂、△BCM₄、△OCM₃均为等边三角形，可求得：

①OM₁ ，所以点M₁的坐标为（，0）。

②点M₂ 与点A重合，所以点M₂的坐标为（0 ，2），

③点M₃ 与点A关于轴对称，所以点M₂的坐标为（0 ，-2），

④设抛物线的对称轴与轴的交点为N ，

      M₄N ，且ON = M₄N，

所以点M₄的坐标为（，0）

综合所述，到战线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为：

  M₁（，0）、 M₂（0 ，2）、 M₃（0 ，-2）、M₄（，0）。