Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CD⊥AB，点C是

AE

的中点，AE分别交CD、BC于G、H，DC与BE的延长线交于点F，则下列说法：
①GD=GE；
②点G是△ACH的外心；
③∠COB=2∠FEC；
其中正确的是

①②③

（在横线上填上序号）．

Answer 1

分析：①如图，连接AD．由全等三角形的判定定理AAS易证得△CGE≌△AGD，则该全等三角形的对应边相等，即GD=GE；
②欲证明点G是△ACH的外心，只需证明点G是AC与CH中垂线的交点即可；
③如图，延长CO交⊙O于点G，连接BG．构建圆内接四边形CEBG．由圆内接四边形的内对角互补、邻补角的定义得到∠G+∠CEB=180°，∠FEC+∠CEB=180°，则易求
∠G=∠FEC．然后由圆周角定理得到∠COB=2∠FEC．

解答：解：①如图，连接AD．
∵弦CD⊥AB，点C是

AE

的中点，
∴

AD

=

AC

=

CE

，
∴∠ACG=∠GAC，
∴CG=AG．
∴在△CGE与△AGD中，

∠CEG=∠ADG ∠CGE=∠AGD CG=AG

，
∴△CGE≌△AGD（AAS），
∴GD=GE．
故①正确；

②由①知，∠ACG=∠GAC，则点G在AC边的中垂线上．
∵AB是直径．
∴∠ACB=90°．
∴∠HCG=90°-∠ACG．
又∠CHA=90°-∠GAC，
∴∠HCG=∠CHA，即∠HCG=∠CHG，
∴CG=GH，
∴点G在边CH的中垂线上．
∴点G是△ACH的外心．
故②正确；

③如图，延长CO交⊙O于点G，连接BG．
∵∠G+∠CEB=180°，∠FEC+∠CEB=180°，
∴∠G=∠FEC．
又∵∠COB=2∠G，
∴∠COB=2∠FEC．
故③正确．
故答案是：①②③．

点评：本题考查了圆的综合题．解题中所涉及的知识点有圆周角定理，圆周角、弧、弦间的关系，三角形的外心以及圆内接四边形的性质等．此题的难点是图中辅助线的做法．