Question

如图，抛物线经过x轴上的两点A（x₁，0）、B（x₂，0）和y轴上的点C（0，），⊙P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D在抛物线上，且C、D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P？并说明理由；
（3）设直线BD交⊙P于另一点E，求经过点E和⊙P的切线的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）将点C的坐标代入抛物线解析式即可求得c的值；
（2）已知D点坐标，可求直线BD的解析式，连接BP，设⊙P的半径为r，求出r，OP的值即可．
（3）过点E作EF⊥y轴于F，可求得△OPB≌△FPE，求出点P的坐标．然后由射影定理求得PE²=PF•PN，根据此关系式求解．
解答：解：（1）∵抛物线经过点C（0，），
∴c=，
∴该抛物线的解析式为-；

（2）∵抛物线的解析式为-，
∴对称轴为x=-=-．
又∵C（0，），C、D两点关于抛物线的对称轴对称，
∴D（-，-）．
令x²+x-=0，
解得，x₁=-，x₂=，
即A（-，0）、B（，0）．
易求直线BD的解析式为：y=x-．
设⊙P的半径为r．则在直角△OBP中，根据勾股定理知BP²=OB²+OP²，即r²=（）²+（-r）²，
解得，r=1，则OP=OC-r=-1=．
∴P（0，）．
点P的坐标满足直线BD的解析式y=x-．即直线BD经过圆心P；

（3）过点E作EF⊥y轴于F，得△OPB≌△FPE，则E（-，-1）．
设经过E点⊙P的切线l交y轴于点N．
则∠PEN=90°，EF⊥PN，
∴PE²=PF•PN（射影定理），
∴PN=2，N（0，-2.5），（11分）
∴切线l为：y=-x-．
点评：本题考查的是二次函数的综合应用．难度较大．解题时，要数形结合，以防将点D的坐标误写为（，-）．