Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）.

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）若P为线段BC上一点，过点P作轴的平行线，交抛物线于点D，当△BCD面积最大时，求点P的坐标；

（3）若M（m，0）是轴上一个动点，请求出CM+MB的最小值以及此时点M的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（，），面积最大为；（3）CM+MB最小值为，M（，0）

【解析】

（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，设P（a，a-3），得出PD的长，列出S△BDC的表达式，化简成顶点式，即可求解；

（3）取G点坐标为（0，），过M点作MB′⊥BG，用B′M代替BM，即可得出最小值的情况，再将直线BG、直线B′C的解析式求出，求得M点坐标和∠CGB的度数，再根据∠CGB的度数利用三角函数得出最小值B′C的值.

解：（1）∵抛物线经过点A、B、C，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），

代入表达式，解得a= 1，b=-2，c=-3，

∴故该抛物线解析式为：.

（2）令，
∴x1=-1，x2=3，
即B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b′，将B、C代入得：k=,1，b′=-3，

∴直线BC的解析式为y=x-3，

设P（a，a-3），则D（a，a2-2a-3），

∴PD=（a-3）-（a2-2a-3）= -a2+3a

S△BDC=S△PDC+S△PDB

=PD×3

=，

∴当a=时，△BDC的面积最大，且为为，此时P（，）；

（3）如图，取G点坐标为（0，），连接BG，

过M点作MB′⊥BG，∴B′M＝BM，

当C、M、B′在同一条直线上时，CM+MB最小.

可求得直线BG解析式为：，

∵B′C⊥BG

故直线B′C解析式为为，

令y=0，则x=，

∴B′C与x轴交点为（，0）

∵OG=，OB=3，

∴∠CGB=60°，

∴B′C= CGsin∠CGB==，

综上所述：CM+MB最小值为，此时M（，0）.