Question

如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB=BC=CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  3 +2 2

  4

• D、

  3 +3

  4

Answer 1

分析：连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，由AB=OA=OB=1，得到∠AOB=60°，弧AB的度数=60°，而AB=BC=CD，得弧ABD的度数=3×60°=180°，所以AD为⊙O的直径，∠CFA=60°；再由AN=AF=OE，则AD平分NF，EF过O点，弧FD=弧FA，得到△FAD为等腰直角三角形，可得FA=

2

2

AD=

2

，在Rt△AGF中，GF=

1

2

AF=

2

2

，AG=

3

GF=

6

2

，在Rt△AGC中，CG=AG=

6

2

，最后利用三角形的面积公式即可求出△ACF面积．

解答：解：连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，连OE交⊙O于N，连AN，如图，
∵AB=OA=OB=1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴弧AB的度数=60°，
又∵AB=BC=CD，
∴弧AB=弧BC=弧CD，
∴弧ABD的度数=3×60°=180°，
∴AD为⊙O的直径，∠CFA=60°，
∵AN=AF=OE=

2

，∴AD平分NF，∴EF过O点，
∴弧FD=弧FA，
∴△FAD为等腰直角三角形，
∴∠FCA=∠FDA=45°，FA=

2

2

AD=

2

，
在Rt△AGF中，GF=

1

2

AF=

2

2

，AG=

3

GF=

6

2

，
在Rt△AGC中，CG=AG=

6

2

，
∴S_△ACF=

1

2

CF•AG=

1

2

×（

2

2

+

6

2

）×

6

2

=

3 +3

4

．
故选D．

点评：本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了等腰直角三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系以及三角形的面积公式．