Question

x_l、x₂是方程x²-2mx+（m²+2m+3）=O的两实根，则x₁²+x₂²的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先根据根的判别式求得m的取值范围，然后由根与系数的关系列出关于m的一元二次方程，最后由方程的性质解答．

解答：解：方程有实根，则△=4m²-4（m²+2m+3）=-8m-12≥0，
故m≤-

3

2

，
又有x₁+x₂=2m，x₁•x₂=m²+2m+3，
得x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=2[（m-1）²-4]，
但m≤-

3

2

，
故当m≤-

3

2

时，x₁²+x₂²的最小值为2[（-

3

2

-1）²-4]=2×

9

4

=

9

2

．
故答案为：

9

2

．

点评：本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及一元二次方程的最值．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．