Question

如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A₁、A₂、A₃、A₄…表示，其中A₁A₂与x轴、底边A₁A₂与A₄A₅、A₄A₅与A₇A₈、…均相距一个单位，则顶点A₃的坐标是________，A₉₂的坐标是________．

Answer 1

（0，-1）    （31，-31）
分析：根据等边三角形的性质求出第一个三角形的高，然后求出A₃O即可得解；
先根据每一个三角形有三个顶点确定出A₉₂所在的三角形，再求出相应的三角形的边长以及A₉₂的纵坐标的长度，即可得解．
解答：∵△A₁A₂A₃的边长为2，
∴△A₁A₂A₃的高线为2×=，
∵A₁A₂与x轴相距1个单位，
∴A₃O=-1，
∴A₃的坐标是（0，-1）；
∵92÷3=30…2，
∴A₉₂是第31个等边三角形的第2个顶点，
第31个等边三角形边长为2×31=62，
∴点A₉₂的横坐标为×62=31，
∵边A₁A₂与A₄A₅、A₄A₅与A₇A₈、…均相距一个单位，
∴点A₉₂的纵坐标为-31，
∴点A₉₂的坐标为（31，-31）．
故答案为：（0，-1）；（31，-31）．
点评：本题是点的变化规律的考查，主要利用了等边三角形的性质，难度不大，第二问确定出点A₉₂所在三角形是解题的关键．