Question

如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．
（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；
（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长．

Answer 1

分析：（1）过点P作PE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PF，利用“HL”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB，再根据邻补角的定义证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AE=FC，然后求出AE，利用勾股定理列式求出PE，再求出BE，利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：证明：（1）如图，过点P作PE⊥AB于E，
∵∠1=∠2，PF⊥BC，
∴PE=PF，
在△APE和△CPF中，

PA=PC PE=PF

，
∴△APE≌△CPF（HL），
∴∠PAE=∠PCB，
∵∠PAE+∠PAB=180°，
∴∠PCB+∠BAP=180°；

（2）∵△APE≌△CPF，
∴AE=FC，
∵BC=12cm，AB=6cm，
∴AE=

1

2

×（12-6）=3cm，
BE=AB+AE=6+3=9cm，
在Rt△PAE中，PE=

52-32

=4cm，
在Rt△PBE中，PB=

92+42

=

97

cm．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．