Question

关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m有两个不相等的实数根x₁，x₂，求m的取值范围；若x₁，x₂满足等式x₁x₂﹣x₁﹣x₂+1=0，求m的值．

Answer 1

【考点】根的判别式；根与系数的关系．

【分析】原方程可化为x²﹣5x+6﹣m=0，于是得到△=b²﹣4ac=25﹣24+4m=1+4m，根据方程（x﹣2）（x﹣3）=m有两个不相等的实数根，得到△＞0，求得m＞﹣根据根与系数的关系得到x₁+x₂=5，x₁x₂=6﹣m解方程即可得到结论．

【解答】解：原方程可化为x²﹣5x+6﹣m=0，

△=b²﹣4ac=25﹣24+4m=1+4m，

∵方程（x﹣2）（x﹣3）=m有两个不相等的实数根，

∴△＞0，

∴1+4m＞0，

∴m＞﹣

∵x₁+x₂=5，x₁x₂=6﹣m

∴5﹣6+m+1=0，

∴m=0．

【点评】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．