题目内容
如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上．过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E．（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部分）为s，s关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．
①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积，
②当2＜t＜4时，求S关于t的函数解析式；
（2）在第（1）题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）先要看分段函数所表示的意思是什么，当0＜x≤2时，E在B和A之间扫过的梯形的部分是个平行四边形，当2＜x＜4时，E在A点右侧，且D在O点左侧时，扫过的梯形的部分是个五边形，当x≥4时，扫过的梯形的面积就是整个梯形的面积．
①由上面的分析可看出当t=2时，就是E、A重合的时候，那么AB=2，可根据此时梯形的平行四边形的面积为8求出OA的长；而当t=4时，就是D于O重合的部分，因此OC=4，那么梯形的面积就可以求出来了．
②根据上面的分析当2＜t＜4时，直角梯形OABC被直线l扫过的面积=直角梯形OABC面积一直角三角形DOE面积，然后可用t表示出OD、OE的长，然后根据得出的等量关系求出S、t的函数关系式；
（2）要分三种情况进行讨论：
①以点D为直角顶点，作PP1⊥x轴
在Rt△ODE中，OE=2OD，设OD=b，OE=2b．由于Rt△ODE≌Rt△P1PD，（图示阴影）
因此b=4，2b=8，在上面二图中分别可得到P点的生标为P（-12，4）、P（-4，4）
E点在0点与A点之间不可能；
②以点E为直角顶点
同理在②二图中分别可得P点的生标为P（-
，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能．
③以点P为直角顶点
同理在③二图中分别可得P点的生标为P（-4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4），
E点在A点下方不可能．
综上可得P点的生标共5个解，分别为P（-12，4）、P（-4，4）、P（-
，4）、
P（8，4）、P（4，4）．
解答：
解：（1）①AB=2
OA=
=4，OC=4，S梯形OABC=12
②当2＜t＜4时，
直角梯形OABC被直线l扫过的面积=直角梯形OABC面积一直角三角形DOE面积，
∵AB∥CD，OA=4，
∴
=
=
，
∴OE=8-2t
S=12-
（4-t）×（8-2t）=-t2+8t-4；
（2）存在
P1（-12，4），P2（-4，4），P3（-
，4），P4（4，4），P5（8，4）
下面提供参考解法二：
以直角进行分类进行讨论（分三类）：
第一类如上分析中①所示图∠P为直角：
设直线DE：y=2x+2b，此时D（-b，0），E（0，2b）的中点坐标为
，
直线DE的中垂线方程：y-b=-
，
令y=4得
．
由已知可得
PE=DE即
化简得3b2-32b+64=0
解得b1=8，b2=
将之代入P（
-8，4）
∴P1=（4，4）P2（-4，4）；
第二类如上分析中②所示图∠E为直角：
设直线DE：y=2x+2b，此时D（-b，o），E（O，2b），
直线PE的方程：y=-
，
令y=4得P（4b-8，4）．
由已知可得PE=DE即
化简得b2=（2b-8）2
解之得，b1=4，b2=
将之代入P（4b-8，4）
∴P3=（8，4）
第三类如上分析中③所示图∠D为直角：
设直线DE：y=2x+2b，此时D（-b，o），E（O，2b），
直线PD的方程：y=-
（x+b），
令y=4得P（-b-8，4）．
由已知可得PD=DE即
解得b1=4，b2=-4将之代入P（-b-8，4）
∴P5=（-12，4）、P6（-4，4）、[P6（-4，4）与P2重合舍去]．
综上可得P点的坐标共5个解，分别为P（-12，4）、P（-4，4）、P（-
，4）、
P（8，4）、P（4，4）．
事实上，我们可以得到更一般的结论：
如果得出AB=a、OC=b、OA=h、设
，则P点的情形如下：
点评：本题结合梯形，平行四边形等知识考查了二次函数的综合应用，要注意的是（2）中要分直角顶点的不同来进行分类讨论，不要漏解．
①由上面的分析可看出当t=2时，就是E、A重合的时候，那么AB=2，可根据此时梯形的平行四边形的面积为8求出OA的长；而当t=4时，就是D于O重合的部分，因此OC=4，那么梯形的面积就可以求出来了．
②根据上面的分析当2＜t＜4时，直角梯形OABC被直线l扫过的面积=直角梯形OABC面积一直角三角形DOE面积，然后可用t表示出OD、OE的长，然后根据得出的等量关系求出S、t的函数关系式；
（2）要分三种情况进行讨论：
①以点D为直角顶点，作PP1⊥x轴
在Rt△ODE中，OE=2OD，设OD=b，OE=2b．由于Rt△ODE≌Rt△P1PD，（图示阴影）
因此b=4，2b=8，在上面二图中分别可得到P点的生标为P（-12，4）、P（-4，4）
E点在0点与A点之间不可能；
②以点E为直角顶点
同理在②二图中分别可得P点的生标为P（-
，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能．③以点P为直角顶点
同理在③二图中分别可得P点的生标为P（-4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4），
E点在A点下方不可能．
综上可得P点的生标共5个解，分别为P（-12，4）、P（-4，4）、P（-
，4）、P（8，4）、P（4，4）．
解答：
解：（1）①AB=2OA=
=4，OC=4，S梯形OABC=12②当2＜t＜4时，
直角梯形OABC被直线l扫过的面积=直角梯形OABC面积一直角三角形DOE面积，
∵AB∥CD，OA=4，
∴
=
=
，∴OE=8-2t
S=12-
（4-t）×（8-2t）=-t2+8t-4；
（2）存在P1（-12，4），P2（-4，4），P3（-
，4），P4（4，4），P5（8，4）下面提供参考解法二：
以直角进行分类进行讨论（分三类）：
第一类如上分析中①所示图∠P为直角：
设直线DE：y=2x+2b，此时D（-b，0），E（0，2b）的中点坐标为
，直线DE的中垂线方程：y-b=-
，令y=4得
．由已知可得
PE=DE即
化简得3b2-32b+64=0
解得b1=8，b2=
将之代入P（
-8，4）∴P1=（4，4）P2（-4，4）；
第二类如上分析中②所示图∠E为直角：
设直线DE：y=2x+2b，此时D（-b，o），E（O，2b），
直线PE的方程：y=-
，令y=4得P（4b-8，4）．
由已知可得PE=DE即
化简得b2=（2b-8）2
解之得，b1=4，b2=
将之代入P（4b-8，4）∴P3=（8，4）
第三类如上分析中③所示图∠D为直角：
设直线DE：y=2x+2b，此时D（-b，o），E（O，2b），
直线PD的方程：y=-
（x+b），令y=4得P（-b-8，4）．
由已知可得PD=DE即
解得b1=4，b2=-4将之代入P（-b-8，4）
∴P5=（-12，4）、P6（-4，4）、[P6（-4，4）与P2重合舍去]．
综上可得P点的坐标共5个解，分别为P（-12，4）、P（-4，4）、P（-
，4）、P（8，4）、P（4，4）．
事实上，我们可以得到更一般的结论：
如果得出AB=a、OC=b、OA=h、设
，则P点的情形如下：
点评：本题结合梯形，平行四边形等知识考查了二次函数的综合应用，要注意的是（2）中要分直角顶点的不同来进行分类讨论，不要漏解．
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