Question

若方程x²-6x-k-1=0与x²-kx-7=0仅有一个公共的实数根，试求k的值和相同的根．

Answer 1

【答案】分析：首先设方程x²-6x-k-1=0与x²-kx-7=0的公共根，然后代入，分情况讨论根与k的值．
解答：解：设方程x²-6x-k-1=0与x²-kx-7=0．
公共根为x，则x²-6x-k-1=0①
x²-kx-7=0②
①-②得（x²-6x-k-1）-（x²-kx-7）=0，
-6x+kx-k-1+7=0，
x（k-6）-（k-6）=0，
（k-6）（x-1）=0．
①若k≠6，则x=1．
当x=1时，1²-6×1-k-1=0，
所以k=-6．
②若k=6，则x≠1．
方程x²-6x-6-1=0，
x²-6x-7=0．
所以（x-7）（x+1）=0，
即x₁=7，x₂=-1．
而x²-6x-7=0与上述方程是同一方程．
所以当k=-6时，方程的公共根为x=1．
点评：做这类题的关键是要设两个方程有公共根，探求k与公共根x的数量关系再加以分类讨论．