题目内容
13．
如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C在坐标轴上，OA=60cm，OC=80cm．动点P从点O出发，以5cm/s的速度沿x轴匀速向点C运动，到达点C即停止．设点P运动的时间为t s．（1）过点P作对角线OB的垂线，垂足为点30．求PT的长y与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）在点P运动过程中，当点O关于直线AP的对称点O′恰好落在对角线OB上时，求此时直线AP的函数解析式．
分析 （1）由四边形AOBC为矩形，得到四个角为直角，对角线相等，由OA与OC的长，利用勾股定理求出AC的长，即为OB的长，根据一对直角相等，一对公共角，得到三角形OPT与三角形OBC相似，由相似得比例，求出PT与t的关系式，即为y与t的关系式，确定出t的范围即可；
（2）当O点关于直线AP的对称点O′恰好在对角线OB上时，A，T，P三点应在一条直线上（如下图所示），根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到三角形AOP与三角形OCB相似，由相似得比例求出OP的长，确定出P坐标，设直线AP解析式为y=kx+b，把A与P坐标代入求出k与b的值，即可确定出此时AP的解析式．
解答 解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=∠BCO=90°，AC=OB，
∵OA=60cm，OC=80cm，
∴OB=AC=$\sqrt{6{0}^{2}+8{0}^{2}}$=100cm，
∵PT⊥OB，
∴∠OTP=∠OCB=90°，
∵∠POT=∠BOC，
∴△OPT∽△OBC，
∴$\frac{PT}{BC}$=$\frac{OP}{OB}$，即$\frac{PT}{60}$=$\frac{5t}{100}$，
∴y=PT=3t，
当点P运动到C点时即停止运动，此时t的最大值为$\frac{80}{5}$=16s，
则t的取值范围是0≤t≤16；
（2）当O点关于直线AP的对称点O′恰好在对角线OB上时，A，T，P三点应在一条直线上（如下图所示），
由对称性得：AP⊥OB，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠AOP=∠OCB=90°，
∴△AOP∽△OCB，
∴$\frac{OP}{CB}$=$\frac{AO}{OC}$，即$\frac{OP}{60}$=$\frac{60}{80}$，
解得：OP=45，即点P的坐标为（45，0），
设直线AP的函数解析式为y=kx+b，
将点A（0，60）和点P（45，0）代入解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{60=0+b}\\{0=45k+b}\end{array}\right.$，
解这个方程组，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=60}\end{array}\right.$，
则此时直线AP的函数解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+60．
点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，矩形的性质，待定系数法确定一次函数解析式，以及对称的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）| A． | 同位角相等，两直线平行 | |
| B． | 内错角相等，两直线平行 | |
| C． | 同旁内角互补，两直线平线 | |
| D． | 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行 |
| A． | 6，6 | B． | 7，7 | C． | 8，6 | D． | 9，12 |