Question

【题目】如图，在中，，，，平分交于点，过点作交于点，点是线段上的动点，连结并延长分别交，于点、.

（1）求的长.

（2）若点是线段的中点，求的值.

（3）请问当的长满足什么条件时，在线段上恰好只有一点，使得?

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）当或时，满足条件的点只有一个.

【解析】

（1）由角平分线定义得，在中，根据锐角三角函数正切定义即可求得长.

（2）由题意易求得，，由全等三角形判定得，根据全等三角形性质得，根据相似三角形判定得，由相似三角形性质得，将代入即可求得答案.

（3）由圆周角定理可得是顶角为120°的等腰三角形，再分情况讨论：

①当与相切时，结合题意画出图形，过点作，并延长与交于点，连结，，设半径为，由相似三角形的判定和性质即可求得长；

②当经过点时，结合题意画出图形，过点作，设半径为，在中，根据勾股定理求得，再由相似三角形的判定和性质即可求得长；③当经过点时，结合题意画出图形，此时点与点重合，且恰好在点处，由此可得长.

（1）解：∵平分，，

∴．

在中，

（2）解：易得，，．

由，得，．

∵，

∴，

∴．

由，得，

∴

∴

（3）解：∵，过，，作外接圆，圆心为，

∴是顶角为120°的等腰三角形.

①当与相切时，如图1，

过点作，

并延长与交于点，连结，

设的半径则，，

解得．

∴，．

易知，可得，则

∴．

②当经过点时，如图2，

过点作，垂足为．

设的半径，则．

在中，，解得，

∴

易知，可得

③当经过点时，如图3，

此时点与点重合，

且恰好在点处，可得．

综上所述，当或时，满足条件的点只有一个.