Question

已知直线y=-

1

2

x与抛物线y=-

1

4

x2+6交于A、B两点，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B构成无数个三角形，这些三角形中存在一个面积最大的三角形，最大面积为（　　）

• A．12

  6

• B．

  125

  2

• C．

  125

  4

• D．

  23

  4

Answer 1

分析：根据直线y=-

1

2

x与抛物线y=-

1

4

x2+6可以求出A、B两点的坐标，过点A作AM∥x轴，交抛物线于点M，作BC⊥AM于C交x轴于点E，作PD⊥AM点D，交x轴于点F，则S_△ABP=S_{四边形BCDP}+S_△PDA-S_△ABC，就可以求出其值．

解答：解：由题意，得

y=- 1 2 x y=- 1 4 x2+6

解得：

x1=6 y1=-3

，

x2=-4 y2=2

，
∴A（6，-3），B（-4，2）．
过点A作AM∥x轴，交抛物线于点M，作BC⊥AM于C交x轴于点E，作PD⊥AM点D，交x轴于点F．
∴C（-4，-3），
∴BC=5，AC=10，
∴S_△ABC=25，
设P（a，-

1

4

a²+6），
∴PD=-

1

4

a²+9，AD=6-a，
∴S_△PDA=

(6-a)(- 1 4 a2+9)

2

，
S_{四边形BCDP=}

(4+a)(- 1 4 a2+9+5)

2

∴S_△ABP=

(4+a)(- 1 4 a2+9+5)

2

+

(6-a)(- 1 4 a2+9)

2

-25
=-

5

4

a2+

5

2

a+30
=-

5

4

(a-1)2+

125

4

，
∴当a=1时，S_△ABP的最大值为

125

4

，故C答案正确．
故选C．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用函数的解析式求函数图象的交点坐标，图形的面积计算方法的运用，利用抛物线的解析式求最值．