Question

正方形ABCD中，E是CD边上一点，

（1）将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示．观察可知：与DE相等的线段是　 　，∠AFB=∠　 　

（2）如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ

（3）在（2）题中，连接BD分别交AP、AQ于M、N，你还能用旋转的思想说明BM²+DN²=MN²．

Answer 1

解：（1）∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，

∵DE=BF，∠AFB=∠AED．

故答案为BF，AED；

（2）将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，

则∠D=∠ABE=90°，即点E、B、P共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，

∵∠PAQ=45°，

∴∠PAE=45°，

∴∠PAQ=∠PAE，

在△APE和△APQ中

∵，

∴△APE≌△APQ，

∴PE=PQ，

而PE=PB+BE=PB+DQ，

∴DQ+BP=PQ；

（3）∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABD=∠ADB=45°，

如图，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，

则∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，

与（2）一样可证明△AMN≌△AMK得到MN=MK，

∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，

∴△BMK为直角三角形，

∴BK²+BM²=MK²，

∴BM²+DN²=MN²．