Question

（2013•本溪二模）已知直线l经过正方形ABCD的顶点A，过点C作CE⊥直线l于点E，连接BE

（1）如图1，当直线l∥BC时，CE+AB=

2

BE；
（2）如图2，当直线l绕着点A，逆时针旋转到如图位置时，请判断线段BE、AE、CE三者数量关系，并证明；（3）如图3，当直线l绕着点A，逆时针旋转到如图位置时，请补全图形并判断线段BE、AE、CE三者数量关系，不必证明．

Answer 1

分析：（1）连接BD直接由勾股定理就可以求出结论；
（2）作BF⊥BE交EA的延长线于点F，连接AC．由条件可以得出A、B、C、E四点共圆，就可以得出∠AEB=∠BEC=∠BAC=45°，就可以得出∠BFE=45°，就有BF=BE，由勾股定理就可以得出EF=

2

BE，再由△ABF≌△CBE就可以得出AF=CE，就可以得出结论；
（3）如图3，作BF⊥BE交E，于点F，连接AC．由条件可以得出A、B、C、E四点共圆，由△ABF≌△CBE就可以得出AF=CE，就可以得出结论．

解答：解：（1）连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BBC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAC=90°．
∴BD=

2

CE，
∴BE=

2

CE
∴

2

BE=2CE，
∴

2

BE=AB+CE．
故答案为：

2

．

（2）CE+AE=

2

BE．
理由：如图2，作BF⊥BE交EA的延长线于点F，连接AC．
∴∠FBE=90°．
∵CE⊥直线l，
∴∠AEC=90°．
∵∠ABC=90°，
∴A、B、C、E四点共圆，
∴∠AEB=∠BEC=∠BAC=45°，
∴∠BFE=∠BEC=45°，
∴∠BFE=∠BEF，
∴BF=BE．
∵∠ABF+∠ABE=∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠ABF=∠EBC．
在△ABF和△CBE中，

∠BFE=∠BEC BF=BE ∠ABF=∠EBC

，
∴△ABF≌△CBE（ASA），
∴AF=CE．
在Rt△BFE中，由勾股定理，得
EF=

2

BE，
∴AF+AE=

2

BE，
∴CE+AE=

2

BE．

（3）AE-CE=

2

BE，
理由：如图3，作BF⊥BE交EA于点F，连接AC．
∴∠FBE=90°．
∵CE⊥直线l，
∴∠AEC=90°．
∵∠ABC=90°，
∴A、B、C、E四点共圆，
∴∠BAE=∠BCE，
∵∠ABF+∠ABE=∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠ABF=∠EBC．
在△ABF和△CBE中，

∠BFE=∠BEC AB=CB ∠ABF=∠EBC

，
∴△ABF≌△CBE（ASA），
∴AF=CE．BF=BE．
在Rt△BFE中，由勾股定理，得
EF=

2

BE，
∴AE-AF=

2

BE，
∴AE-CE=

2

BE．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，四点共圆的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是解答的关键．