Question

20．在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点，连接AP交DC的延长线于M．
（1）试说明：△ADQ∽△QCP；
（2）若△PCM的面积为2，求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可表示出PC，DQ，CQ，AD的长，从而根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来进行判定．
（2）由平行线得出△ABP∽△MCP，得出$\frac{AB}{CM}=\frac{BP}{PC}$=3，求出AB=3CM，由△PCM的面积得出PC•CM=4，得出BC•AB=48即可．．

解答 （1）证明：∵正方形ABCD中，BP=3PC，Q是CD的中点，
∴PC=$\frac{1}{4}$BC，CQ=DQ=$\frac{1}{2}$CD，且BC=CD=AD，∠D=∠PCQ=90°，AB∥CD，
∴PC：DQ=CQ：AD=1：2
∵∠PCQ=∠D=90°
∴△ADQ∽△QCP；
（2）解：∵AB∥CD，
∴△ABP∽△MCP，
∴$\frac{AB}{CM}=\frac{BP}{PC}$=3，
∴AB=3CM，
∵△PCM的面积为2，
∴PC•CM=4，
∴$\frac{1}{4}$BC•$\frac{1}{3}$AB=4，
∴BC•AB=48．

点评 此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．