Question

如图：∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
（1）求证：∠E=∠A．
（2）若BE、CE是△ABC两外角平分线且交于点E，则∠E与∠A又有什么关系？

Answer 1

（1）证明：∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=（∠A+∠ABC）．
又∵∠4=∠E+∠2，
∴∠E+∠2=（∠A+∠ABC）．
∵BE平分∠ABC，
∴∠2=∠ABC，
∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC），
∴∠E=∠A；

（2）如图2所示，
∵BE、CE是两外角的平分线，
∴∠2=∠CBD，∠4=∠BCF，
而∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠2=（∠A+∠ACB），∠4=（∠A+∠ABC）．
∵∠E+∠2+∠4=180°，
∴∠E+（∠A+∠ACB）+（∠A+∠ABC）=180°，即∠E+∠A+（∠A+∠ACB+∠ABC）=180°．
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠E+∠A=90°．
分析：（1）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠4=∠E+∠2；由角平分线的性质，得∠4=（∠A+∠ABC），∠2=∠ABC，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系；
（2）根据题意画出图形，由于BE、CE是两外角的平分线，故∠2=∠CBD，∠4=∠BCF，由三角形外角的性质可知，∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，由角平分线的定义可知，∠2=（∠A+∠ACB），∠4=（∠A+∠ABC），根据三角形定理可知∠E+∠2+∠4=180°，故可得出∠E+∠A+（∠A+∠ACB+∠ABC）=180°，再由∠A+∠ACB+∠ABC=180°即可得出结论．
点评：本题考查的是三角形外角的性质，在解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．