Question

【题目】在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，交轴于点．

（1）如图1，求抛物线的解析式；

（2）如图2，点为抛物线上一点，连接并延长交轴于点，若点的横坐标为4，求的面积；

（3）如图3，点为对称轴右侧第四象限抛物线上一点，连接并延长交轴于点，过点作交轴于点．连接，过点作交延长线于点，当时，延长交抛物线于点，点在直线上，连接，交线段于点，将射线绕点逆时针旋转45°，得到射线交线段于点，交直线于点，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为；（2）8；（3）．

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）先将的横坐标代入抛物线方程求出P点的坐标，再过点作轴于点，由现有条件推出CK的值，即可求出答案；

（3）首先过点作轴于点，过点作轴于点，设，求出t值，再过点作轴于点，连接，确定Q点坐标为（2，1），AT=BT=1，推出，过点作轴，并截取，连接，，推出，推出，从而证明，得到，设，则，在中，，推出，推出，设直线的解析式为，过点，点，所求解析式为，过点作延长线的垂线，交于点，过点作于点，设点，由，可得，点与点重合，设点，，解得，即可得出．

（1）将A（1，0），B（3，0）代入抛物线解析式

得，

解得

∴抛物线解析式为；

（2）∵点的横坐标为4，代入抛物线方程可得点的坐标为（4，-3），又C（0，-3），

轴，

，

如图1所示，过点作轴于点，

，

在中，，

在中，，

，

；

（3）如图2所示，过点作轴于点，过点作轴于点，设，

，

，

，

，

，

，

解得，

∴点，点，

，

，

过点作轴于点，连接，

设点，由可得，

解得或2，

∴点，

，

过点作轴，并截取，连接，

，

，

，

，

，

，

设，则，在中，，

，

，

设直线的解析式为，过点，点，

则直线的解析式为，

过点作延长线的垂线，交于点，过点作于点，设点，

由，可得，点与点重合，设点，

，解得，

．