Question

如图，是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，水位线CD平行于直径AB，OE⊥CD于点E．
（1）若水面距离洞顶最高处仅1m，已测得sin∠DOE=

5

13

．求半径OD；
（2）根据设计要求，通常情况下，水位线CD与桥洞圆心O的夹角∠COD=120°，此时桥洞截面充水面积是多少？（精确到0.1m²）
（参考数据：π≈3.14，

3

≈1.73，

2

≈1.41．）

Answer 1

分析：（1）根据题意设出DO=13k，DE=5k的长，在Rt△ODE中利用勾股定理，可得到OE的长，再根据OE=OD-1，可以求出k的值，进而求出OD长．
（2）首先求出OE，DE，CD长，利用半圆面积减去小弓形面积，即可得出答案．

解答：解：（1）在Rt△ODE中，
∵sin∠DOE=

5

13

，
∴设DO=13k，DE=5k（k≠0），
∴OE=

OD2-OE2

=12k，
又∵OE=OD-1，
∴12k=13k-1，解得k=1，
∴OD=13m．

（2）∵∠COD=120°，
∴∠DOE=60°，由r=13得OE=

1

2

r=

13

2

，
DE=

3

OE=

13 3

2

，
CD=2DE=13

3

，
∴S=

1

2

π×132-(

120π×132

360

-

1

2

×13

3

×

13

2

)，
=

169

2

π-

169

3

π+

169 3

4

，
=

169

6

π+

169 3

4

≈161.5m²
答：此时桥洞截面充水面积是161.5m²．

点评：此题主要考查了垂径定理的应用以及扇形面积公式等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决．