Question

【题目】如图，抛物线与轴相交于，两点，顶点在第一象限，点在该抛物线上.

（1）若点坐标为.

①求与的函数关系式；

②已知两点，，当抛物线与线段没有交点时，求的取值范围；

（2）若点在该抛物线的曲线段上（不与点，重合），直线交轴于点，过点作轴于点，连接，.求证：.

Answer 1

【答案】（1）①；②当或时，该抛物线与线段没有交点.（2）详见解析.

【解析】

（1）①将点P的坐标代入抛物线的解析式即可得；

②当抛物线与x轴的另一个交点在点N的左侧或在点M的右侧时，抛物线与线段MN均无交点.方法一：利用抛物线二次项系数与开口大小的关系求解；方法二：利用二次函数图象的对称性及对称轴的位置列出不等式求解即可；

（2）如图（见解析），过点作轴于点，根据抛物线的解析式可求出点D和A的坐标，从而可知DH和AH的长，再设点P的坐标为，求出PD所在直线的解析式，从而求得点C的坐标，也就可以得知OC和OB的长，由此可得，根据相似三角形的判定定理与性质可得，最后根据平行线的判定定理即可.

（1）①∵抛物线经过

故b与a的函数关系式为：

② 由（1）得

方法一，有两种情况：

（Ⅰ）当点与点重合时

，解得

越大，抛物线开口越小

∴当时，抛物线与线段没有交点

（Ⅱ）当点与点重合时

，解得

越小，抛物线开口越大，且

∴当时抛物线与线段没有交点

综上所述，当或时，该抛物线与线段没有交点；

方法二，有两种情况：

（Ⅰ）当抛物线与轴的另一个交点在点左侧时，抛物线与线段没有交点

∵抛物线开口向下，经过原点且顶点在第一象限，对称轴为

解得

（Ⅱ）当抛物线与轴的另一个交点在点右侧时，抛物线与线段没有交点

解得

综上所述，当或时，该抛物线与线段没有交点；

（2）如图，过点作轴于点

∵抛物线的顶点

当时，

∴ 点，

设直线为：，，则

将点P和D的坐标代入得：，解得：

则直线为：

又

.