Question

如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=4，OC=2。点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动。设点P运动的时间是t秒，将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得到点D，点D随点P的运动而运动，连结DP，DA。

（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大？最大面积为多少？
（3）当点P与点O重合时，CO的中点绕点P旋转后的对应点为D₁，点P与点A重合时，CA中点绕P点旋转后的对应点为D₂，求直线D₁D₂的解析式；
（4）求出随着点P的运动，点D运动路线的长度。

Answer 1

解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，
则∠DPE=∠COP=90°，
因为∠CPD=90°，
∴∠DPE=90°-∠CPO，
又∵∠OPC=90°-∠CPO，
∴∠DPE=∠OPC，
∴△PED∽△COP，
∴，
∴PE==1，DE=OE=OP+PE=t+1，
∴D点的坐标为；
（2）PA=4-t，DE==t，所以S_△DPA==，
∴当t=2时，S_△DPA最大，且最大值为1；
（3）D₁（1，0），D₂（5，2），设直线D₁D₂的解析式为y=kx+b，所以，解得，
∴直线D₁D₂的解析式为y=，
（4）将D点坐标代入到解析式中，y=，
∴点D在直线D₁D₂上，即D点运动的路线是一条线段，起点是D₁（1，0），终点是D₂（5，2），
D₁D₂=，∴点D运动路线的长度为。